Limites, continuité et dérivabilité

Définitions en ε, opérations et formes indéterminées, théorèmes de comparaison, continuité et théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, Rolle et accroissements finis : l'analyse réelle de première année, avec ses démonstrations types.

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Sommaire détaillé

01Les limiteslire l'aperçu ↓
- 1.1 Les définitions
- 1.2 Les opérations et les formes indéterminées
- 1.3 Les limites usuelles
- 1.4 Les théorèmes d'existence
02La continuité
- 2.1 Définitions
- 2.2 Les grands théorèmes
03La dérivabilité
- 3.1 Définition et interprétation
- 3.2 Les règles de calcul
- 3.3 Rolle et les accroissements finis
- 3.4 La règle de l'Hôpital
04Méthode, pièges et sujets
- 4.1 Démonstrations types
- 4.2 Les pièges
- 4.3 Sujets probables

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1Les limites

1.1Les définitions

Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un point $a$ (éventuellement pas en $a$ ), et $\ell$ un réel.

Situation	Quantificateurs
$x \to a$ , $f \to \ell$	$\forall \varepsilon\ \exists \delta$
$x \to a$ , $f \to +\infty$	$\forall A\ \exists \delta$
$x \to +\infty$ , $f \to \ell$	$\forall \varepsilon\ \exists B$
$x \to +\infty$ , $f \to +\infty$	$\forall A\ \exists B$

1.2Les opérations et les formes indéterminées

Opération	Règle	Formes indéterminées
Somme	$\ell + \ell'$ ; $\ell + (+\infty) = +\infty$	$+\infty - \infty$
Produit	$\ell \ell'$ ; $\ell \times (+\infty) = \pm\infty$ selon le signe de $\ell \neq 0$	$0 \times \infty$
Quotient	$\ell / \ell'$ si $\ell' \neq 0$ ; $\ell / \infty = 0$	$0/0$ , $\infty / \infty$
Puissance	$f^g = e^{g \ln f}$	$1^\infty$ , $0^0$ , $\infty^0$

Méthode : lever une forme indéterminée

Factoriser par le terme prépondérant (polynômes, fractions rationnelles : on garde les termes de plus haut degré en l'infini).
Multiplier par la quantité conjuguée pour les différences de racines.
Écrire sous forme exponentielle les puissances : $f^g = e^{g \ln f}$ .
Utiliser une limite usuelle (taux d'accroissement) ou une croissance comparée.
En dernier recours, la règle de l'Hôpital ou un développement limité.

1.3Les limites usuelles

Limite	Valeur	Origine
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$	1	Taux d'accroissement de $\sin$ en 0
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$	1	Taux d'accroissement de $\exp$ en 0
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}$	1	Taux d'accroissement de $\ln$ en 1
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	$1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$	$e$	Forme $1^\infty$

1.4Les théorèmes d'existence

Théorème	Énoncé
Passage à la limite dans les inégalités	Si $f \le g$ au voisinage de $a$ et si les limites existent, alors $\lim f \le \lim g$ (les inégalités strictes deviennent larges)
Théorème des gendarmes (encadrement)	Si $g \le f \le h$ au voisinage de $a$ et si $g$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$ , alors $f$ tend vers $\ell$
Minoration, majoration	Si $f \ge g$ et $g \to +\infty$ , alors $f \to +\infty$
Limite monotone	Une fonction croissante sur $]a, b[$ admet une limite en $b^-$ : finie si elle est majorée, $+\infty$ sinon

2La continuité

2.1Définitions

Prolongement par continuité : si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$ , la fonction $\tilde f$ égale à $f$ ailleurs et à $\ell$ en $a$ est continue en $a$ . Exemple : $\dfrac{\sin x}{x}$ se prolonge en 0 par 1.
Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues. Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, racine) sont continues sur leur domaine de définition.

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La continuité · La dérivabilité · Méthode, pièges et sujets

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Les notions de cette fiche

Sources vérifiées

Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et des licences de mathématiques (analyse réelle, premier semestre)
J.-M. Monier, Analyse MPSI, Dunod
F. Liret et D. Martinais, Analyse 1re année, Dunod